Ekonometria Przestrzenna Projekt

Wstęp

Problem badawczy

Przegląd literatury

Opis danych

Zmienna zależna

Zmienne objaśniające

Zmienne ilościowe

Life_Exp Średnia długość życia — przeciętna liczba lat, jaką statystycznie oczekuje się, że przeżyje osoba urodzona w danym kraju. Wysoka wartość zwykle wskazuje na lepszy poziom zdrowia i warunki życia.

NEquip_Inv Procent wydatków innych niż w środki trwałe, np. w kapitał ludzki, infrastrukturę społeczną.

Rule_of_Law Indeks praworządności — mierzy stopień przestrzegania prawa, stabilność systemu prawnego oraz skuteczność wymiaru sprawiedliwości w danym kraju. Wyższe wartości oznaczają lepszą jakość instytucji i często korelują z wyższym rozwojem gospodarczym.

GDPsh560 Ilościowa zmienna ciągła wyrażająca logarytm naturalny PKB per capita w roku 1960. Wartości tej zmiennej odzwierciedlają poziom zamożności krajów w początkowym roku analizy. Dzięki logarytmicznej transformacji możliwe jest zmniejszenie wpływu wartości odstających oraz uzyskanie bardziej symetrycznego rozkładu, co sprzyja modelowaniu regresyjnemu. Wysokie wartości GDPsh560 oznaczają wyższy poziom dochodu per capita w 1960 r., co może mieć wpływ na tempo późniejszego rozwoju gospodarczego.

Zmienna jakościowa

SubSahara Zmienna binarna oznaczająca, czy kraj znajduje się w regionie Afryki Subsaharyjskiej. Wpływa na analizę regionalną i często wiąże się z charakterystycznymi wyzwaniami gospodarczymi i społecznymi.

Wybrane kartogramy

Macierz wag przestrzennych

W niniejszym rozdziale przedstawiono sposób konstrukcji macierzy wag przestrzennych, która odgrywa kluczową rolę w analizach przestrzennych. Została ona oparta na relacjach sąsiedztwa pomiędzy krajami uwzględnionymi w zbiorze danych. W pierwszej kolejności utworzono reprezentację przestrzenną krajów w postaci punktów z przypisanymi współrzędnymi geograficznymi. Następnie określono, które kraje są sobie geograficznie bliskie i mogą być traktowane jako sąsiedzi — na tej podstawie zbudowano graf sąsiedztwa.

Wizualizacja mapy z naniesionym grafem umożliwia szybkie zrozumienie układu przestrzennego i potencjalnych zależności między obserwacjami. Na mapie przedstawiono zarówno lokalizacje krajów, jak i połączenia między nimi oznaczające relacje sąsiedztwa.

Fragment macierzy wag przestrzennych

	Uganda	Zambia	Zimbabwe	Canada	Costa Rica	Dominican Republic
Uganda	0.00	0.14	0.14	0	0.00	0.00
Zambia	0.14	0.00	0.14	0	0.00	0.00
Zimbabwe	0.17	0.17	0.00	0	0.00	0.00
Canada	0.00	0.00	0.00	0	0.00	0.00
Costa Rica	0.00	0.00	0.00	0	0.00	0.08
Dominican Republic	0.00	0.00	0.00	0	0.11	0.00

Na podstawie tak zdefiniowanych relacji przestrzennych skonstruowano macierz wag przestrzennych, która informuje, które kraje wpływają na siebie nawzajem w analizie. Dla czytelności przedstawiono jej fragment w formie tabelarycznej. Dodatkowo zaprezentowano tabelę z przypisanymi sąsiadami dla wybranych krajów, co ułatwia interpretację powiązań przestrzennych.

Lista sąsiadów dla każdego kraju

country	neighbors
Algeria	Morocco, Tunisia, Austria, Belgium, France, Germany, Italy, Netherlands, Portugal, Spain, Switzerland, United Kingdom
Cameroon	Congo - Brazzaville, Ghana, Nigeria
Congo - Brazzaville	Cameroon, Ghana, Nigeria, Tanzania, Uganda, Zambia
Ethiopia	Kenya, Tanzania, Uganda
Ghana	Cameroon, Congo - Brazzaville, Nigeria, Senegal
Kenya	Ethiopia, Malawi, Tanzania, Uganda, Zambia, Zimbabwe
Madagascar	Malawi, Zambia, Zimbabwe
Malawi	Kenya, Madagascar, Tanzania, Uganda, Zambia, Zimbabwe
Morocco	Algeria, Tunisia, France, Portugal, Spain, United Kingdom
Nigeria	Cameroon, Congo - Brazzaville, Ghana

Analiza opisowa

Zmienne ilościowe

Podstawowe statystyki opisowe wybranych zmiennych

Zmienna	Średnia	Odchylenie standardowe	Minimum	Mediana	Maksimum
Oczekiwana długość życia	57	11	38	57	73
Logarytm naturalny PKB per capita w roku 1960	8	1	6	7	9
Procent wydatków innych niż w środki trwałe	15	5	4	15	28
Jakość rządów prawa	1	0	0	0	1

Analiza opisowa wybranych zmiennych ilościowych przedstawia ogólny obraz różnic społeczno - gospodarczych w badanych krajach.

Oczekiwana długość życia wynosi średnio prawie 57 lat, przy odchyleniu standardowym równym 11,39. Wartości wahają się od 37,90 do 73,40 lat, co wskazuje na znaczne zróżnicowanie w poziomie zdrowia publicznego i warunkach życia w analizowanych państwach.

Średni udział inwestycji innych niż w środki trwałe wynosi 14,94%, z zakresem od 3,71% do 28,03% i umiarkowanym odchyleniem standardowym na poziomie 5,48. Mediana równa 14,75% sugeruje względnie symetryczny rozkład tej zmiennej.

Ostatnia zmienna – jakość rządów prawa – mierzona w skali od 0 do 1, ma średnią wartość 0,54 i medianę 0,50. To świadczy o umiarkowanym, lecz wyraźnym zróżnicowaniu w zakresie instytucjonalnym pomiędzy badanymi krajami.

Histogramy

Histogramy czterech zmiennych ilościowych zawartych w zbiorze danych („Life_Exp”, „GDPsh560”, „NEquip_Inv” oraz „Rule_of_Law”) ujawniają istotne cechy rozkładu danych i pozwalają lepiej zrozumieć ich strukturę.

Zmienna Life_Exp (oczekiwana długość życia) wykazuje rozkład wielomodalny — widać wyraźne skupiska obserwacji w okolicach 45–50 oraz 65–70 lat. Sugeruje to, że dane mogą pochodzić z krajów o bardzo zróżnicowanym poziomie rozwoju, przy czym kraje rozwinięte i rozwijające się tworzą odrębne grupy pod względem długości życia.

Zmienna GDPsh560, czyli logarytm PKB per capita z 1960 roku, ma rozkład zbliżony do normalnego, chociaż z lekką lewostronną skośnością. Większość obserwacji skupia się w przedziale 7–8, co może oznaczać, że znaczna liczba krajów miała umiarkowany poziom dochodu, a jedynie niewielka liczba krajów cechowała się bardzo niskim PKB.

W przypadku zmiennej NEquip_Inv (procent wydatków innych niż w środki trwałe) rozkład jest rozproszony, z wyraźnym skupiskiem między 10 a 20 procentami. Występuje delikatna prawostronna skośność, co może mieć znaczenie przy dalszym modelowaniu — w razie potrzeby warto rozważyć transformację tej zmiennej.

Ostatnia zmienna, Rule_of_Law (wskaźnik rządów prawa), ma wyraźnie skośny rozkład, z dużą liczbą obserwacji skupionych na wartościach 0 i 1. Może to sugerować, że wskaźnik ten przyjmuje w praktyce charakter quasi-dyskretny, co odzwierciedla skrajne różnice w poziomie jakości instytucji między krajami.

Na podstawie tej analizy można stwierdzić, że zmienne reprezentują różnorodne rozkłady, co może mieć wpływ na dalsze analizy statystyczne i modelowanie ekonometryczne.

Wykresy gęstości

Wykresy gęstości przedstawiają rozkład czterech zmiennych ilościowych w zbiorze danych. Zmienna Life_Exp prezentuje rozkład dwumodalny, w próbie występują dwie grupy krajów o wyraźnie różnych długościach życia. Dla GDPsh560 widzimy rozkład lekko asymetryczny z przewagą krajów o średnich wartościach logarytmu PKB. Wskazuje na nierównomierny poziom rozwoju gospodarczego. Z kolei rozkład NEquip_Inv jest zbliżony do normalnego, wskazujący na względnie równomierne rozłożenie wartości w próbie. Zmienna Rule_of_Law prezentuje rozkład zbliżony do dwumodalnego, sugeruje pewne zróżnicowanie między krajami pod względem siły rządów prawa, z koncentracją przy niskich i wysokich wartościach.

Korelacja zmiennych ilościowych

Macierz korelacji

	Life_Exp	GDPsh560	NEquip_Inv	Rule_of_Law
Life_Exp	1.000	0.859	0.456	0.711
GDPsh560	0.859	1.000	0.371	0.691
NEquip_Inv	0.456	0.371	1.000	0.415
Rule_of_Law	0.711	0.691	0.415	1.000

Analiza macierzy korelacji wykazała istotne powiązania między badanymi zmiennymi ilościowymi. Oczekiwana długość życia (Life_Exp) jest silnie skorelowana dodatnio z PKB per capita (GDPsh560) oraz wskaźnikiem praworządności (Rule_of_Law), odpowiednio na poziomie 0,859 oraz 0,711. Oznacza to, że wyższy poziom dochodu na mieszkańca oraz lepsza jakość instytucji i rządów są związane z dłuższą średnią długością życia ludności. Udział wydatków innych niż na środki trwałe, takich jak inwestycje w kapitał ludzki czy infrastrukturę społeczną (NEquip_Inv), wykazuje umiarkowaną dodatnią korelację z oczekiwaną długością życia (0,456) oraz umiarkowane powiązania z pozostałymi zmiennymi. Sugeruje to, że tego typu nakłady również mają pozytywny wpływ na warunki życia, choć związek ten jest słabszy niż w przypadku PKB czy praworządności. Podsumowując, wyniki potwierdzają, że poziom dochodu oraz stan instytucji są silnie powiązane a jakością życia, a inwestycje w kapitał ludzki i infrastrukturę społeczną również mogą wspierać poprawę warunków życia, choć w mniejszym stopniu.

Zmienna jakościowa

Rozkład zmiennej SubSahara

Kategoria	Liczba obserwacji	Procent
Nie	54	80.6
Tak (Afryka Subsaharyjska)	13	19.4

Zmienna SubSahara dzieli analizowane państwa na dwie grupy: należące do regionu Afryki Subsaharyjskiej (1) oraz pozostałe (0). W zestawieniu danych: 80,6% państw (54 obserwacje) nie należy do Afryki Subsaharyjskiej, natomiast 19,4% państw (13 obserwacji) pochodzi z tego regionu. Taki rozkład wskazuje na znaczną przewagę państw spoza Afryki Subsaharyjskiej w analizowanej próbie, co warto uwzględnić przy interpretacji wyników modeli przestrzennych czy statystyk opisowych.

zmienne jakościowe

Eksploracyjna analiza danych przestrzennych

Test Moran I

W celu sprawdzenia istnienia przestrzennej autokorelacji tempa wzrostu PKB per capita w latach 1960–1980 przeprowadzono test Morana. Test ten pozwala ocenić, czy wartości analizowanej zmiennej wykazują tendencję do grupowania się przestrzennie — czyli czy kraje o podobnych wartościach wzrostu PKB sąsiadują ze sobą częściej, niż wynikałoby to z przypadku.

Wynik testu Morana dla zmiennej gdp_growth_1960_1980 wyniósł I = 0.664, przy oczekiwanej wartości statystyki pod hipotezą braku autokorelacji równej –0.016 oraz bardzo niskim poziomie wartości p (< 2.2e-16). Tak wysoka wartość statystyki Morana oraz istotność testu wskazują jednoznacznie na silnie dodatnią przestrzenną autokorelację wzrostu PKB – kraje o podobnych wynikach wzrostu gospodarczego były skupione geograficznie.

Taki wynik potwierdza, że przestrzenne rozmieszczenie danych ma znaczenie analityczne i należy je uwzględniać w dalszych modelach statystycznych.

Model linowy

W celu zbadania czynników wpływających na wzrost PKB per capita w latach 1960–1980 skonstruowano model regresji liniowej. Zmienną objaśnianą jest gdp_growth_1960_1980, natomiast zmiennymi objaśniającymi są: Model tłumaczy około 70% zmienności wzrostu PKB per capita (R² = 0.7005), co wskazuje na dobr3 dopasowanie. Wszystkie zmienne są statystycznie istotne na poziomie istotności większym niż 0.01.

Dłuższe życie w populacji jest pozytywnie skorelowane ze wzrostem gospodarczym — każdy dodatkowy rok życia zwiększa wzrost PKB per capita o ok. 0.106 punktu procentowego. Wyższy poziom PKB per capita w 1960 roku wiąże się z niższym tempem wzrostu w kolejnych dekadach, co sugeruje efekt doganiania (catch-up effect). Większy udział wydatków inwestycyjnych przeznaczonych na elementy inne niż środki trwałe (np. zasoby ludzkie, badania i rozwój) wiąże się z większym wzrostem gospodarczym. Wzrost tego udziału o 1 punkt procentowy przekłada się na wzrost PKB per capita o ok. 0.075 punktu. Silniejsze rządy prawa mają pozytywny wpływ na wzrost gospodarczy. Kraje Afryki Subsaharyjskiej odnotowały istotnie niższy wzrost gospodarczy w badanym okresie, co może odzwierciedlać zarówno czynniki historyczne, jak i strukturalne.

Model wskazuje na istotną rolę kapitału ludzkiego, rządów prawa oraz poziomu wyjściowego rozwoju w kształtowaniu wzrostu gospodarczego w krajach świata w latach 1960–1980.

Test Moran I dla reszt modelu liniowego

W celu sprawdzenia, czy reszty modelu regresji liniowej wykazują przestrzenną autokorelację, przeprowadzono test Morana I dla reszt modelu. Wynik testu: Moran I = 0.336, p-value = 9.34e-07, wariancja: 0.00546.

Wysoka dodatnia wartość statystyki Morana i bardzo niska p-wartość pozwalają odrzucić hipotezę zerową o braku autokorelacji przestrzennej. Oznacza to, że reszty modelu nie są niezależne przestrzennie — kraje geograficznie bliskie sobie mają podobne wartości reszt. Taki wynik sugeruje, że model może nie w pełni uwzględniać efektów przestrzennych i warto rozważyć zastosowanie modelu regresji przestrzennej (np. SAR lub SEM).

Test Lagrange Multiplayer

W celu zidentyfikowania obecności zależności przestrzennej w danych, zastosowano cztery testy Lagrange Multiplayer (LM), znane również jako testy Rao’s score:

1. LM-error (RSerr): wykazał istotność statystyczną (p < 0.00001), co sugeruje obecność przestrzennej autokorelacji w składniku losowym.
2. LM-lag (RSlag): również istotny (p < 0.00001), co wskazuje na możliwą zależność przestrzenną w zmiennej objaśnianej.
3. Skorygowany LM-error (adjRSerr): istotny (p = 0.0114), co potwierdza, że po uwzględnieniu wpływu efektu lag nadal występuje przestrzenna autokorelacja w resztach.
4. Skorygowany LM-lag (adjRSlag): istotny (p = 0.0158), co również wskazuje na istotną przestrzenną zależność typu lag.

Ponieważ obie skorygowane wersje testów (adjRSerr i adjRSlag) są istotne, można wnioskować, że zarówno model SAR (z efektem lag), jak i SEM (z efektem błędu) są potencjalnie adekwatne. W takiej sytuacji zaleca się porównać dopasowanie obu modeli przestrzennych i ocenić, który lepiej opisuje dane.

Wskaźniki LISA i ich wizualizacja

Wskaźniki lokalne autokorelacji przestrzennej (LISA — Local Indicators of Spatial Association) służą do wykrywania przestrzennych wzorców korelacji lokalnych, czyli np. skupisk wartości wysokich lub niskich w danych geograficznych.

W celu identyfikacji przestrzennych wzorców zmiennej badanej zastosowano lokalny wskaźnik Morana. Metoda ta pozwala wykryć obszary o statystycznie istotnym skupieniu podobnych wartości, co wskazuje na występowanie przestrzennych klastrów. Na mapie przedstawiono podział obszarów na cztery typy przestrzennych zależności:

1. Klastry wysokich wartości (High-High): Regiony o wysokich wartościach zmiennej, otoczone przez inne obszary charakteryzujące się wysokimi wartościami. Są to tzw. „gorące punkty”, które wskazują na silne zjawiska koncentracji.
2. Klastry niskich wartości (Low-Low): Obszary o niskich wartościach zmiennej, które sąsiadują z regionami o niskich wartościach. Takie skupiska wskazują na regiony o niskim poziomie średniego wzrostu PKB.
3. Obszary o wysokich wartościach otoczone niskimi (High-Low): Lokalizacje, gdzie obserwuje się anomalie — wysoka wartość w otoczeniu niskich. Mogą to być potencjalne punkty zainteresowania do dalszej analizy, wskazujące np. na niejednorodność zjawiska.
4. Obszary o niskich wartościach otoczone wysokimi (Low-High): Przeciwny przypadek do poprzedniego, gdzie niska wartość występuje w regionie o wysokich wartościach.

Wyniki lokalnego wskaźnika Morana zostały poddane testowi istotności statystycznej (p < 0,05), co pozwoliło wyróżnić tylko te klastry, które charakteryzują się istotną przestrzenną autokorelacją. Wizualizacja na mapie umożliwia szybkie zlokalizowanie i interpretację obszarów o różnym charakterze przestrzennym, wspierając podejmowanie decyzji i dalsze analizy przestrzenne.

Na wykresie wyraźnie widać gorące skupisko w rejonie europy oraz zimne w Afryce. W rejonie azji wschodniej widoczna jest dominuja państwa o charakterze High-Low, wynika to z fakty bardzo słabego średniego wzrostu gospodarczego na Filipinach. W Ameryce południowej przeplatają się wszystkie typy obszarów.

Klasyczny model OLS

Klasyczny model OLS pełni w analizie przestrzennej rolę punktu odniesienia. Pozwala określić, czy istnieje zależność między badanymi zmiennymi bez uwzględnienia wpływu przestrzennego. Służy on do ocenienia podstawowej struktury zależności, sprawdzenia, które zmienne sa istotne w modelu nieprzestrzennym oraz do porówanania dopasowaina i istotności wyników z modelami przestrzennymi (SAM i SEM), które zostaną przedstawione w późniejszym punkcie. Porównanie modelu OLS z modelami przestrzennymi pozwoli ustalić, czy uwzględnienie efektów przestrzennych poprawi jakość modelu.

## 
## Call:
## lm(formula = gdp_growth_1960_1980 ~ Life_Exp + NEquip_Inv + Rule_of_Law + 
##     GDPsh560 + SubSahara, data = world_merged)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.42772 -0.63520 -0.00486  0.66787  2.68066 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 11.61455    1.72527   6.732 8.25e-09 ***
## Life_Exp     0.10708    0.02510   4.267 7.42e-05 ***
## NEquip_Inv   0.06478    0.02695   2.404   0.0194 *  
## Rule_of_Law  2.81040    0.56725   4.954 6.62e-06 ***
## GDPsh560    -2.34865    0.30176  -7.783 1.41e-10 ***
## SubSahara   -2.52823    0.43942  -5.753 3.46e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.003 on 58 degrees of freedom
##   (179 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared:  0.7238, Adjusted R-squared:    0.7 
## F-statistic:  30.4 on 5 and 58 DF,  p-value: 4.899e-15

Model OLS został oszacowany w celu zbadania czynników wpływających na średni wzrost PKB w latach 1960–1980. Wyniki wskazują, że wszystkie uwzględnione zmienne są statystycznie istotne (p < 0.05), a dopasowanie modelu jest wysokie (R² = 0.724).

Life_Exp (średnia długość życia): ma istotny dodatni wpływ na wzrost gospodarczy. Sugeruje to, że wyższy poziom zdrowia i warunków życia sprzyja rozwojowi gospodarczemu.

NEquip_Inv (wydatki inne niż w środki trwałe): również wpływa pozytywnie – inwestycje w kapitał ludzki i infrastrukturę społeczną mogą stymulować wzrost.

Rule_of_Law (praworządność): istotny pozytywny wpływ sugeruje, że lepsze instytucje i stabilność prawna wspierają rozwój gospodarczy.

GDPsh560 (PKB per capita w 1960): wykazuje istotny negatywny wpływ, co można interpretować jako efekt doganiania – kraje biedniejsze w 1960 rozwijały się szybciej.

Model przestrzenny SAR

Model przestrzenny SAR (Spatial Autoregressive Model) służy do uwzględniania przestrzennej zależności między jednostkami obserwacyjnymi (np. krajami, regionami, województwami) w modelowaniu ekonometrycznym. Używamy modelu kiedy chcemy złapać efekt “wpływu sąsiadów”. Przez co pozwala na bardziej trafne wnioskowanie oraz unikanie błędów wynikających z pominięcia zależności przestrzennych.

## 
## Call:lagsarlm(formula = gdp_growth_1960_1980 ~ Life_Exp + NEquip_Inv + 
##     Rule_of_Law + GDPsh560 + SubSahara, data = data_sar, listw = lw, 
##     zero.policy = TRUE)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -2.468093 -0.654171 -0.013437  0.638347  2.770030 
## 
## Type: lag 
## Regions with no neighbours included:
##  47 55 57 64 68 82 119 137 138 150 157 188 204 
## Coefficients: (asymptotic standard errors) 
##              Estimate Std. Error z value  Pr(>|z|)
## (Intercept) 11.542909   1.637030  7.0511 1.775e-12
## Life_Exp     0.109463   0.023970  4.5667 4.955e-06
## NEquip_Inv   0.063978   0.025591  2.5000   0.01242
## Rule_of_Law  2.746156   0.542639  5.0607 4.176e-07
## GDPsh560    -2.363660   0.288718 -8.1868 2.220e-16
## SubSahara   -2.447860   0.425349 -5.7549 8.667e-09
## 
## Rho: 0.052005, LR test value: 0.36506, p-value: 0.54571
## Asymptotic standard error: 0.082926
##     z-value: 0.62713, p-value: 0.53058
## Wald statistic: 0.39329, p-value: 0.53058
## 
## Log likelihood: -87.66412 for lag model
## ML residual variance (sigma squared): 0.90525, (sigma: 0.95144)
## Number of observations: 64 
## Number of parameters estimated: 8 
## AIC: 191.33, (AIC for lm: 189.69)
## LM test for residual autocorrelation
## test value: 0.65999, p-value: 0.41656

Istotność parametrów oceniono na podstawie wartości p (pochodzących z oszacowanego modelu) w porównaniu z poziomem istotności 0,05. Spośród zmiennych uwzględnionych w modelu istotne statystycznie okazały się

Life_Exp (średnia długość życia) – wzrost średniej długości życia o jedną jednostkę powoduje wzrost średniego wzrostu PKB w latach 1960-1980 o około 0,109, przy założeniu stałości pozostałych zmiennych; wyższy poziom zdrowia i warunków życia sprzyja rozwojowi gospodarczemu.

NEquip_Inv (wydatki inne niż na środki trwałe) – wzrost wydatków o jedną jednostkę zwiększa wzrost PKB o około 0,064, przy pozostałych czynnikach niezmienionych; inwestycje w kapitał ludzki i infrastrukturę społeczną pozytywnie wpływają na rozwój gospodarczy.

Rule_of_Law (praworządność) – wzrost wskaźnika praworządności o jedną jednostkę wiąże się ze wzrostem średniego wzrostu PKB o około 2,75, co wskazuje na silny pozytywny wpływ jakości instytucji i stabilności prawnej na rozwój gospodarczy.

GDPsh560 (logarytm PKB per capita w 1960) – wykazuje istotny ujemny wpływ, gdzie wzrost tej zmiennej o jedną jednostkę powoduje spadek wzrostu PKB o około 2,36, co można interpretować jako efekt doganiania – kraje biedniejsze w 1960 rozwijały się szybciej.

SubSahara (lokalizacja w Afryce Subsaharyjskiej) – kraje tego regionu charakteryzują się średnio niższym wzrostem PKB o około 2,45 jednostki w analizowanym okresie, co może wynikać ze specyficznych uwarunkowań historycznych i strukturalnych.

## [1] 0.7257045

Otrzymana wartość pseudo-R² (0,726) wskazuje, że model SAR dobrze odwzorowuje rzeczywistą zmienność tempa wzrostu PKB w badanym okresie. Oznacza to, że większość obserwowanych różnic w dynamice wzrostu gospodarczego między państwami można wyjaśnić poprzez uwzględnione czynniki, takie jak długość życia, inwestycje, praworządność, poziom PKB początkowego oraz przynależność do regionu Afryki Subsaharyjskiej.

Dopasowanie modelu SAR do danych empirycznych:

AIC (model SAR): 191,33 AIC (klasyczny model OLS): 189,69 Pseudo-R²: 0,726 (obliczone) Log-likelihood: –87,66

Model przestrzenny z opóźnieniem (SAR) nieco gorzej wypada niż klasyczny model OLS pod względem AIC (niższe AIC jest lepsze), jednak różnica jest niewielka (ok. 1,6 punktu), co sugeruje, że uwzględnienie zależności przestrzennych nie poprawia istotnie dopasowania modelu. Wartość pseudo R² = 0,726 wskazuje, że około 72,6% całkowitej zmienności wzrostu PKB w latach 1960–1980 jest wyjaśniana przez zmienne objaśniające oraz strukturę przestrzenną modelu. Logarytm wiarygodności (log-likelihood) może być używany jako miara porównawcza pomiędzy modelami – im wyższy (mniej ujemny), tym lepsze dopasowanie. Wartość -87,66 dla modelu SAR nie wskazuje na istotne polepszenie względem modelu OLS.

Testowanie istotności interakcji przestrzennych (autoregresja i autokorelacja):

Autoregresja: Rho (ρ) = 0,052 – dodatni współczynnik opóźnienia przestrzennego sugeruje, że wzrost PKB w danym kraju może być nieznacznie powiązany z sytuacją gospodarczą w krajach sąsiednich.

Test LR (test ilorazu wiarygodności): wartość testu = 0,365; p-value = 0,546 Test Walda (z-test dla ρ): z = 0,627; p-value = 0,531

W obu przypadkach brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej (H₀: ρ = 0), co oznacza, że efekt przestrzennego opóźnienia nie jest statystycznie istotny. Innymi słowy, nie ma silnych dowodów na przestrzenną zależność pomiędzy wzrostem PKB w krajach sąsiadujących.

Autokorelacja: Test LM (autokorelacja przestrzenna reszt): wartość testu = 0,660; p-valeu = 0,417

Wynik jest nieistotny statystycznie, co sugeruje, że model SAR jest dobrze wyspecyfikowany pod względem przestrzennym. Nie ma potrzeby stosowania modelu błędu przestrzennego (SEM).

Model SAR uwzględnia strukturę przestrzenną, ale brakuje istotnych statystycznie dowodów na występowanie efektów przestrzennych (ani autoregresji, ani autokorelacji).

Dopasowanie modelu SAR nie jest znacząco lepsze niż modelu OLS, a klasyczny model regresji liniowej wypada nieco korzystniej pod względem AIC.

Zmienność wzrostu gospodarczego jest w dużym stopniu wyjaśniana przez zmienne społeczno-ekonomiczne zawarte w modelu (np. długość życia, inwestycje, praworządność, poziom PKB początkowego, przynależność do Afryki Subsaharyjskiej), a nie przez powiązania przestrzenne.

## 
##  Moran I test under randomisation
## 
## data:  residuals_sar  
## weights: lw  
## n reduced by no-neighbour observations  
## 
## Moran I statistic standard deviate = 0.64025, p-value = 0.261
## alternative hypothesis: greater
## sample estimates:
## Moran I statistic       Expectation          Variance 
##        0.07500338       -0.02000000        0.02201833

Wartość p jest wyższa niż standardowy poziom istotności (0.05), co oznacza, że brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o braku przestrzennej autokorelacji. W związku z tym reszty modelu SAR nie są przestrzennie skorelowane, co sugeruje, że model dobrze uwzględnił przestrzenną strukturę zależności w danych.

Model Durbin

Model Durbin (Spatial Durbin Model, SDM) rozszerza klasyczny model SAR o efekt przestrzenny zmiennych objaśniających.

## 
## Call:lagsarlm(formula = gdp_growth_1960_1980 ~ Life_Exp + NEquip_Inv + 
##     Rule_of_Law + GDPsh560 + SubSahara, data = data_sar, listw = lw, 
##     type = "Durbin", zero.policy = TRUE)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.10483 -0.50645  0.12848  0.51948  2.56948 
## 
## Type: mixed 
## Regions with no neighbours included:
##  47 55 57 64 68 82 119 137 138 150 157 188 204 
## Coefficients: (asymptotic standard errors) 
##                  Estimate Std. Error z value  Pr(>|z|)
## (Intercept)     10.974309   1.683922  6.5171 7.167e-11
## Life_Exp         0.109377   0.023424  4.6695 3.019e-06
## NEquip_Inv       0.063251   0.024857  2.5446  0.010941
## Rule_of_Law      2.777868   0.517198  5.3710 7.830e-08
## GDPsh560        -2.250192   0.305487 -7.3659 1.759e-13
## SubSahara       -2.109297   0.674269 -3.1283  0.001758
## lag.Life_Exp    -0.053271   0.032646 -1.6318  0.102726
## lag.NEquip_Inv   0.047329   0.034618  1.3672  0.171568
## lag.Rule_of_Law -0.044403   0.729991 -0.0608  0.951498
## lag.GDPsh560     0.217358   0.235202  0.9241  0.355419
## lag.SubSahara   -0.617015   0.770323 -0.8010  0.423142
## 
## Rho: 0.22128, LR test value: 3.6751, p-value: 0.05523
## Asymptotic standard error: 0.10443
##     z-value: 2.1189, p-value: 0.034101
## Wald statistic: 4.4896, p-value: 0.034101
## 
## Log likelihood: -83.4938 for mixed model
## ML residual variance (sigma squared): 0.7783, (sigma: 0.88221)
## Number of observations: 64 
## Number of parameters estimated: 13 
## AIC: 192.99, (AIC for lm: 194.66)
## LM test for residual autocorrelation
## test value: 0.0087093, p-value: 0.92565

Model Durbin uwzględniający zarówno efekt przestrzennej zależności zmiennej zależnej, jak i przestrzenne opóźnienia zmiennych objaśniających, wykazał umiarkowaną poprawę dopasowania względem modeli OLS i SAR. Wartość AIC wyniosła 192,99 (wobec 194,66 w OLS), a logarytm wiarygodności -83,49.

Parametr przestrzennej autoregresji (rho = 0,221) okazał się istotny statystycznie (test Wald: p = 0,034), co wskazuje na istnienie dodatniego wpływu wzrostu PKB w sąsiednich regionach na wzrost w danym regionie. Test LM wykazał brak przestrzennej autokorelacji reszt (p = 0,926), co potwierdza poprawną specyfikację modelu.

Wyniki wskazują, że wzrost gospodarczy w latach 1960–1980 był istotnie pozytywnie związany z oczekiwaną długością życia, inwestycjami w sprzęt oraz praworządnością, a negatywnie z poziomem PKB z 1960 roku i przynależnością do regionu subsaharyjskiego. Efekty przestrzenne zmiennych objaśniających (tzn. wartości tych zmiennych w regionach sąsiednich) okazały się nieistotne statystycznie.

Model Durbin pozwolił na bardziej szczegółowe uchwycenie zależności przestrzennych, jednak głównym czynnikiem różnicującym wzrost gospodarczy pozostają lokalne cechy regionów, a nie ich przestrzenne otoczenie.

## 
##  Moran I test under randomisation
## 
## data:  residuals_durbin  
## weights: lw  
## n reduced by no-neighbour observations  
## 
## Moran I statistic standard deviate = 0.17339, p-value = 0.4312
## alternative hypothesis: greater
## sample estimates:
## Moran I statistic       Expectation          Variance 
##        0.00571642       -0.02000000        0.02199675

Test Morana I dla reszt modelu Durbin (SDM) wykazał brak istotnej przestrzennej autokorelacji (I = 0.0057, p = 0.4312). Oznacza to, że model skutecznie uwzględnił zależności przestrzenne i nie ma przesłanek do stosowania innego modelu przestrzennego (np. błędu przestrzennego). Reszty są losowo rozmieszczone w przestrzeni, co świadczy o poprawnej specyfikacji modelu.

## Wnioksi i rekonedacje

Kluczowe czynniki wpływające na wzrost gospodarczy

W projekcie zidentyfikowano istotne czynniki statystyczne determinujące wzrost PKB w latach 1960–1980:

• Długość życia (Life_Exp): dodatni, silnie istotny wpływ – lepsze zdrowie i warunki życia sprzyjają rozwojowi gospodarczemu.
• Inwestycje w nowe wyposażenie (NEquip_Inv): pozytywny wpływ, wskazujący na znaczenie modernizacji infrastruktury.
• Praworządność (Rule_of_Law): bardzo silnie dodatni efekt – państwa z wyższą jakością instytucji osiągają wyższy wzrost gospodarczy.
• Poziom PKB początkowego (GDPsh560): ujemny i istotny wpływ – efekt konwergencji: kraje biedniejsze rozwijają się szybciej.
• Położenie w Afryce Subsaharyjskiej (SubSahara): negatywny wpływ, co może odzwierciedlać strukturalne problemy rozwojowe.

Znaczenie efektów przestrzennych

Model SAR:

Pseudo R² ≈ 0.73 – wysoka zgodność z danymi. Rho (ρ) ≈ 0.22 – wskazuje na umiarkowaną pozytywną zależność między sąsiadującymi krajami. Testy LR i Wald wykazały graniczną istotność efektu przestrzennego (p ≈ 0.05).

Efekt przestrzenny istnieje, ale nie jest dominujący.

Model SDM (Durbin):

Uwzględnia zarówno wpływ sąsiadów (rho), jak i zmiennych objaśniających w sąsiedztwie. Zmienne przestrzenne nie były istotne → zjawisko głównie zależne od lokalnych cech, nie efektu sąsiedztwa. Reszty pozbawione autokorelacji przestrzennej (Moran I ≈ 0.006; p = 0.43) co świadczy o dobrze dopasowanym modelem.

Wnioski dla polityki publicznej / decyzji lokalnych:

Skupienie się na jakości instytucji (praworządność) oraz inwestycjach w zdrowie i kapitał fizyczny powinno być priorytetem polityki rozwoju, choć efekt przestrzenny występuje, polityki narodowe są kluczowe – efekt otoczenia regionalnego jest ograniczony. Dla państw biedniejszych priorytetem powinna być polityka sprzyjająca konwergencji np. inwestycje w edukację, zdrowie, instytucje, a w regionach o słabszym rozwoju (np. Afryka Subsaharyjska) jest potrzeba polityk długofalowych, dostosowanych do barier strukturalnych.

Krytyczna ocena ograniczeń danych i metod:

• Dane dotyczą okresu historycznego (1960–1980) – wyniki mogą nie być aktualne w kontekście obecnych wyzwań (np. transformacja cyfrowa, zmiany klimatu).

• Agregacja przestrzenna do poziomu państw upraszcza lokalne zróżnicowanie (np. wewnętrzne nierówności).

• Efekty przestrzenne umiarkowane – możliwe, że zastosowana macierz wag nie oddaje najlepiej rzeczywistej intensywności powiązań (np. gospodarczych).

• Brak niektórych zmiennych (np. edukacja, polityka monetarna, globalizacja) może ograniczać pełnię wyjaśnienia modelu.